Calcolo Esempi

$x y d x + (1 + x) (1 - y) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(1 + x) (1 - y) d y = - x y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1 + x$ da $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x) y} (x y) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(1 + x) y}$ nel numeratore.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) y} (x y) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (x y) d x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

Passaggio 3.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x} x d x$

Passaggio 3.5

$\frac{- 1}{1 + x}$ e $x$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- x}{1 + x} d x$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 4.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 4.2.3.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 4.2.5

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 4.2.6

Semplifica.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 4.2.7

Riordina i termini.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 4.3.2

Riordina $1$ e $x$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.3.3

Dividi $x$ per $x + 1$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 4.3.3.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Passaggio 4.3.3.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Passaggio 4.3.3.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 4.3.3.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 4.3.5

Applica la regola costante.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 4.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 4.3.7

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.3.7.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.3.7.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.7.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.3.7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.3.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 4.3.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5}))$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| u |)) + C_{6}$

Passaggio 4.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

Passaggio 4.3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Passaggio 4.3.11.2

Moltiplica $- - \ln (| x + 1 |)$ .

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Passaggio 4.3.11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Passaggio 4.3.11.2.2

Moltiplica $\ln (| x + 1 |)$ per $1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$