Calcolo Esempi

$\frac{d s}{d t} = - 12 t + \cos (t)$ , $s (0) = 4$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d s = (- 12 t + \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d s = \int - 12 t + \cos (t) d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$s + C_{1} = \int - 12 t + \cos (t) d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$s + C_{1} = \int - 12 t d t + \int \cos (t) d t$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 12$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = - 12 \int t d t + \int \cos (t) d t$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = - 12 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = - 12 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$s + C_{1} = - 12 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$s + C_{1} = - 6 t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$s = - 6 t^{2} + \sin (t) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $0$ e $s$ con $4$ in $s = - 6 t^{2} + \sin (t) + K$ .

$4 = - 6 \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- 6 \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 4$ .

$- 6 \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 4$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $- 6 \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 6 \cdot 0 + \sin (0) + K = 4$

Passaggio 4.2.1.1.2

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0 + \sin (0) + K = 4$

Passaggio 4.2.1.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 + 0 + K = 4$

Passaggio 4.2.1.2

Combina i termini opposti in $0 + 0 + K$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + K = 4$

Passaggio 4.2.1.2.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 4$

Passaggio 5

Sostituisci $4$ a $K$ in $s = - 6 t^{2} + \sin (t) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $4$ a $K$ .

$s = - 6 t^{2} + \sin (t) + 4$