Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} - y = x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} - y = x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 1$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = 1$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = 1$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 1}{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 3.2.4

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 3.2.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 3.2.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 3.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 3.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{1}{x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} = \ln (| x |) + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.2.1

Semplifica $(\ln (| x |) + C) x$ .

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Passaggio 8.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \ln (| x |) x + C x$

Passaggio 8.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.3.2.1.2.1

Riordina i fattori in $\ln (| x |) x + C x$ .

$y = x \ln (| x |) + C x$

Passaggio 8.3.2.1.2.2

Riordina $x \ln (| x |)$ e $C x$ .

$y = C x + x \ln (| x |)$