Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{1 + e^{x}}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 1$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \frac{1}{1 + e^{x}}$

Passaggio 2.2

$e^{x}$ e $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Passaggio 2.3

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{x} y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Sia $u = 1 + e^{x}$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1.1

Sia $u = 1 + e^{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Differenzia $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 6.1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 6.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 6.1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 6.1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Passaggio 6.1.1.4

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x} y = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{x} y = \ln (| u |) + C$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + e^{x}$ .

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |) + C}{e^{x}}$