Calcolo Esempi

$t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $t$ ciascun termine in $t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$ .

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d x}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 1.3

Scomponi $x$ da $\frac{2 x}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 1.4

Riordina $x$ e $\frac{2}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = \frac{2}{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{2}{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (t)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (t^{2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$t^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{2}{t}$ e $x$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t (4 e^{t})$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t e^{t}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t e^{t}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t e^{t} d t$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$t^{2} x = \int 4 t e^{t} d t$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$t^{2} x = 4 \int t e^{t} d t$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = e^{t}$ .

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Passaggio 7.3

L'integrale di $e^{t}$ rispetto a $t$ è $e^{t}$ .

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Passaggio 7.4

Semplifica.

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$

Passaggio 8

Dividi per $t^{2}$ ciascun termine in $t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $t^{2}$ ciascun termine in $t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ .

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t}) + C}{t^{2}}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{4 (t e^{t}) + 4 (- e^{t}) + C}{t^{2}}$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$x = \frac{4 t e^{t} - 4 e^{t} + C}{t^{2}}$