Calcolo Esempi

$e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x} = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d f}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riordina i fattori in $e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x}$ .

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} + e^{x} = 1$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$

Passaggio 1.1.3

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ .

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d f}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $- e^{x}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{- x}}{1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.4

Dividi $- e^{- x}$ per $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d f = (\frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d f = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} d x + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Nega l'esponente di $e^{2 x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$f + C_{1} = \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $e^{- 2 x}$ per $1$ .

$f + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.3

Sia $u_{1} = - 2 x$ . Allora $d u_{1} = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sia $u_{1} = - 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.3.3.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.4.2

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.7

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.9

Sia $u_{2} = - x$ . Allora $d u_{2} = - d x$ , quindi $- d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Sia $u_{2} = - x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.9.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.9.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.9.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.11.2

Moltiplica $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.12

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + e^{u_{2}} + C_{3}$

Passaggio 2.3.13

Semplifica.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 2.3.14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 2 x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{u_{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$f = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + K$