Calcolo Esempi

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Passaggio 2.3.5

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Passaggio 2.3.8

Riscrivi $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ come $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

Passaggio 3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

Passaggio 3.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

Passaggio 3.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

Passaggio 3.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $K$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

Passaggio 3.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Passaggio 3.3.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.6.1

Riscrivi $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ come $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Passaggio 3.3.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $5$ in $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ .

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ .

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

Passaggio 6.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 2$ .

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Semplifica $- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.1.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.1.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.1.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.1.1.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.1.1.1.2.2

Moltiplica per zero.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $e^{0}$ .

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.1.1.1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.1.1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.1.1.1.2.4

Moltiplica $0 + 4 e^{0} + K$ per $1$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.1.1.1.2.5

Somma $0$ e $4 e^{0}$ .

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + K = - 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$4 + K = - 10$

Passaggio 6.4

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 10 - 4$

Passaggio 6.4.2

Sottrai $4$ da $- 10$ .

$K = - 14$

Passaggio 7

Sostituisci $- 14$ a $K$ in $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $- 14$ a $K$ .

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $4 x e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Passaggio 7.2.2

Scomponi $2$ da $4 e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

Passaggio 7.2.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

Passaggio 7.2.4

Scomponi $2$ da $- 14$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

Passaggio 7.2.5

Scomponi $2$ da $2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

Passaggio 7.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

Passaggio 7.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

Passaggio 7.2.6.4

Dividi $2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ per $1$ .

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Passaggio 7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

Passaggio 7.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$