Calcolo Esempi

$\frac{d s}{d t} = 13 t {(5 t^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d s = 13 t {(5 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d s = \int 13 t {(5 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$s + C_{1} = \int 13 t {(5 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $13$ è costante rispetto a $t$ , sposta $13$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 13 \int t {(5 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 5 t^{2} - 1$ . Allora $d u = 10 t d t$ , quindi $\frac{1}{10} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 5 t^{2} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $5 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2} - 1]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 t^{2} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t^{2}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$10 t + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $10 t$ e $0$ .

$10 t$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$s + C_{1} = 13 \int u^{3} \frac{1}{10} d u$

Passaggio 2.3.3

$u^{3}$ e $\frac{1}{10}$ .

$s + C_{1} = 13 \int \frac{u^{3}}{10} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{10}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 13 (\frac{1}{10} \int u^{3} d u)$

Passaggio 2.3.5

$\frac{1}{10}$ e $13$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{10} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{10} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $\frac{13}{10} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ come $\frac{13}{10} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{10} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.2.1

Moltiplica $\frac{13}{10}$ per $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{10 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Moltiplica $10$ per $4$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{40} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{40} {(5 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$s = \frac{13}{40} {(5 t^{2} - 1)}^{4} + K$