Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $1 + y^{2}$ .

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \frac{1}{1 + y^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \frac{1}{1 + y^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(1 + y^{2}) d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 1 + y^{2} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int y^{2} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int y^{2} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} + \frac{1}{3} y^{3} + C_{2} = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$y + \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y = x + K$