Calcolo Esempi

$y^{- 1} d y + y e^{\cos (x)} \sin (x) d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{- 1} d y = - y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} y^{- 1} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y \cdot y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.2.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y^{1} y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.2.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y^{1} y^{1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{y^{1 + 1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $y e^{\cos (x)} \sin (x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - (e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

$\frac{1}{y^{2}} d y = - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 4.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 4.3.2.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int - e^{u} d u$

Passaggio 4.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.4

Semplifica.

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Passaggio 4.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.4.2

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{u} + C_{2}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{\cos (x)} + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1$

Passaggio 5.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ per $y$ .

$- \frac{1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Passaggio 5.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = e^{\cos (x)} y + K y$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riordina i fattori in $e^{\cos (x)} y + K y$ .

$- 1 = y e^{\cos (x)} + K y$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 5.3.1

Riscrivi l'equazione come $y e^{\cos (x)} + K y = - 1$ .

$y e^{\cos (x)} + K y = - 1$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y$ da $y e^{\cos (x)} + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y e^{\cos (x)} + y K = - 1$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y$ da $y e^{\cos (x)} + y K$ .

$y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $e^{\cos (x)} + K$ ciascun termine in $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $e^{\cos (x)} + K$ ciascun termine in $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ .

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\cos (x)} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{e^{\cos (x)} + K}$