Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y = y x e^{x + 2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = y x e^{x + 2} - y$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $y x e^{x + 2} - y$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $y x e^{x + 2}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) - y$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $y$ da $y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2} - 1)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x e^{x + 2} - 1$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = (x e^{x + 2} - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x + 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Sia $u = x + 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Sia $u = x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.3.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 2.3.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.3.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{u} d u + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.5

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{u} - x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{x + 2} - x + C_{4}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ .

$| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

Passaggio 3.3.2

Riordina i fattori in $e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ .

$| y | = e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$ come $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$