Calcolo Esempi

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , sposta $a$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Allora $d u = \frac{1}{b} d x$ , quindi $b d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{x}{b}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $\frac{1}{b}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{b}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $\frac{1}{b}$ per $1$ .

$0 + \frac{1}{b}$

Passaggio 2.3.2.1.4

Somma $0$ e $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{b}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $b$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

Passaggio 2.3.3.3

$\frac{1}{u^{2}}$ e $b$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $b$ è costante rispetto a $u$ , sposta $b$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Passaggio 2.3.5

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $a b (- u^{- 1} + C_{2})$ come $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

$a$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

$b$ e $\frac{a}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $b a \frac{b}{b + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.3.1

$b$ e $\frac{b}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3.2

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3.3

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3.6

$a$ e $\frac{b^{2}}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{b + x}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

Passaggio 3.2.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

Passaggio 3.2.2.1.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.5.1

$2$ e $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

Passaggio 3.2.2.1.5.2

Scomponi $- 1$ da $- a b^{2}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

Passaggio 3.2.2.1.5.3

Scomponi $- 1$ da $K b$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

Passaggio 3.2.2.1.5.4

Scomponi $- 1$ da $- (a b^{2}) - (- K b)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

Passaggio 3.2.2.1.5.5

Scomponi $- 1$ da $K x$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

Passaggio 3.2.2.1.5.6

Scomponi $- 1$ da $- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Passaggio 3.2.2.1.5.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.5.7.1

Riscrivi $- (a b^{2} - K b - K x)$ come $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Passaggio 3.2.2.1.5.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$