Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ per $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica $\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ per $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{(x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 1.5

$y^{3}$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 1.6.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 1.6.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 1.7

$y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 1.8

Usa la regola della potenza di un quoziente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{3}}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{3}}$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{3}}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{3} + V^{3}}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1^{2} - 1 V + V^{2})}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - 1 V + V^{2})}$

Passaggio 6.1.1.1.3.2

Riscrivi $- 1 V$ come $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$

Passaggio 6.1.1.2

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.1

Scomponi $V$ da $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.1.1

Scomponi $V$ da $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.1.2

Scomponi $V$ da $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.1.3

Scomponi $V$ da $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1)}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.3

$- 1$ e $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + \frac{- ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.3

Espandi $(- 1 - V) (1 - V + V^{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.2

Moltiplica $- 1 (- V)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.2.2

Moltiplica $V$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.3

Riscrivi $- 1 V^{2}$ come $- V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.6

Moltiplica $V$ per $V$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.6.1

Sposta $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.6.2

Moltiplica $V$ per $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.8

Moltiplica $V^{2}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.9

Moltiplica $V$ per $V^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.9.1

Sposta $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V)}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2

Moltiplica $V^{2}$ per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.1

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V^{1})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{2 + 1}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.9.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.5

Combina i termini opposti in $- 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.5.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + 0 + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.5.2

Somma $- 1 - V^{2}$ e $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.5.3

Somma $- V^{2}$ e $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.5.4

Somma $- 1$ e $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.6

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.7

Sottrai $V^{3}$ da $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{- V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1 \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.7.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (V \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.7.2

$V$ e $\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.7.3

Moltiplica $V$ per $V^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.7.3.1

Moltiplica $V$ per $V^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.7.3.1.1

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1} V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.7.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1 + 3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.7.3.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{x (1 + V) (1 - V + V^{2})}$

Passaggio 6.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2

Combina.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.3

Elimina il fattore comune di $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ nel numeratore.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.3.2

Scomponi $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ da $- (1 + V) (1 - V + V^{2})$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.3.3

Scomponi $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ da $(1 + V) (1 - V + V^{2}) x$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (x)}$

Passaggio 6.1.4.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) \cdot - 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

Passaggio 6.1.4.4

Elimina il fattore comune di $V^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.4.1

Scomponi $V^{4}$ da $V^{4} \cdot 1$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} (1)}{x}$

Passaggio 6.1.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

Passaggio 6.1.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sposta $V^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) {(V^{4})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(V^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{4 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Espandi $(1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (1 (1 - V + V^{2}) + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (1 (1 - V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2}) V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.7

Applica la proprietà distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.8

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.9

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.10

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + V \cdot 1 V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.11

Riordina $V$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.12

Riordina $V$ e $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.13

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.14

Moltiplica $V^{- 4}$ per $1$ .

$\int V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int V^{- 4} - V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.16

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int V^{- 4} - (V \cdot V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.17

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\int V^{- 4} - (V^{1} V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int V^{- 4} - V^{1 - 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.19

Sottrai $4$ da $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.20

Moltiplica $V^{2}$ per $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.21

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2 - 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.22

Sottrai $4$ da $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.23

Moltiplica $V$ per $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.24

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1} V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.25

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1 - 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.26

Sottrai $4$ da $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.27

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V \cdot V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.28

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.29

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V^{1}) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.30

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{1 + 1} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.31

Somma $1$ e $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.32

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{2} V^{- 4}) + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.33

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2 - 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.34

Sottrai $4$ da $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.35

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.36

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 + 2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.37

Somma $1$ e $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.38

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3 - 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.39

Sottrai $4$ da $3$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.40

Riordina $V^{- 4}$ e $- V^{- 3}$ .

$\int - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.41

Sposta $V^{- 4}$ .

$\int - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.42

Riordina $- V^{- 3}$ e $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.43

Riordina $V^{- 3}$ e $- V^{- 2}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.44

Sposta $V^{- 3}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.45

Riordina $- V^{- 2}$ e $V^{- 1}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.46

Sposta $V^{- 4}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.47

Sposta $- V^{- 3}$ .

$\int V^{- 2} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.48

Riordina $V^{- 2}$ e $V^{- 1}$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 2} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.49

Sottrai $V^{- 2}$ da $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.50

Somma $V^{- 1}$ e $0$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.51

Sottrai $V^{- 3}$ da $V^{- 3}$ .

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.52

Somma $V^{- 1}$ e $0$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int V^{- 1} d V + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

L'integrale di $V^{- 1}$ rispetto a $V$ è $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $V^{- 4}$ rispetto a $V$ è $- \frac{1}{3} V^{- 3}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{3} V^{- 3} + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.7.1

Semplifica.

$\ln (| V |) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{V^{3}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{V^{3} \cdot 3} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $V^{3}$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{3 V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.8

Riordina i termini.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 8

Risolvi $- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Passaggio 8.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica $| \frac{y}{x} | | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Passaggio 8.3.2

$\frac{y}{x}$ e $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Passaggio 8.4.2

Dividi $y$ per $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Passaggio 8.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 (\frac{y^{3}}{x^{3}})} + C$

Passaggio 8.5.2

$3$ e $\frac{y^{3}}{x^{3}}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{3 y^{3}}{x^{3}}} + C$

Passaggio 8.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{3}}{3 y^{3}}) + C$

Passaggio 8.5.4

Moltiplica $\frac{x^{3}}{3 y^{3}}$ per $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + C$