Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $\frac{y}{2 + 3 y}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Passaggio 1.1.3.3

Riordina i fattori in $\frac{y}{(2 + 3 y) x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 + 3 y)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{2 + 3 y}{y}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} (\frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Moltiplica $\frac{y}{2 + 3 y}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $2 + 3 y$ .

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Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $2 + 3 y$ da $(2 + 3 y) x$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) (x)}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Passaggio 1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{2 + 3 y}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2 + 3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{2}{y} + \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Dividi $3$ per $1$ .

$\int \frac{2}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Applica la regola costante.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$2 \ln (| y |) + 3 y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.8

Riordina i termini.

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$