Calcolo Esempi

$\frac{d C}{d x} = \frac{12}{\sqrt[3]{12 x + 1}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d C = \frac{12}{\sqrt[3]{12 x + 1}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d C = \int \frac{12}{\sqrt[3]{12 x + 1}} d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi.

$C = \int \frac{12}{\sqrt[3]{12 x + 1}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$C = 12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{12 x + 1}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 12 x + 1$ . Allora $d u = 12 d x$ , quindi $\frac{1}{12} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 12 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [12 x + 1]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $12$ e $0$ .

$12$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$C = 12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{12} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ per $\frac{1}{12}$ .

$C = 12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 12} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $12$ alla sinistra di $\sqrt[3]{u}$ .

$C = 12 \int \frac{1}{12 \sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{12}$ fuori dall'integrale.

$C = 12 (\frac{1}{12} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

$\frac{1}{12}$ e $12$ .

$C = \frac{12}{12} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$C = \frac{12}{12} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$C = 1 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.3

Moltiplica $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$ per $1$ .

$C = \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$C = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$C = \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.5.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.5.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C = \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.5.2.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$C = \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 2.3.5.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$C = \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{1}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $12 x + 1$ .

$C = \frac{3}{2} {(12 x + 1)}^{\frac{2}{3}} + C_{1}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$C = \frac{3}{2} {(12 x + 1)}^{\frac{2}{3}} + K$