Calcolo Esempi

$x (y d) x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x^{2} + 1) d y = - x y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Passaggio 3.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2} + 1} x d x$

Passaggio 3.4

$\frac{- 1}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.3.2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Passaggio 5.3

Per scrivere $\ln (| y |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Passaggio 5.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

$\ln (| y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Passaggio 5.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Passaggio 5.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Passaggio 5.6

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.1

Semplifica $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

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Passaggio 5.6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.6.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Passaggio 5.6.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Passaggio 5.6.1.1.3

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Passaggio 5.6.1.2

Riscrivi $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 1 |) = C$

Passaggio 5.6.1.3

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} + 1 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 5.6.1.4

Applica la regola del prodotto a $y^{2} | x^{2} + 1 |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 5.6.1.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.6.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (y^{1} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 5.6.1.6

Semplifica.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 5.7

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Passaggio 5.8

Riscrivi $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Riscrivi l'equazione come $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Passaggio 5.9.2

Dividi per ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1

Dividi per ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.9.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$