Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 x - x y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $3 x - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 3 - x y$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 3 + x (- 1 y)$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 3 + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (3 - 1 y)$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (3 - y)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} (x (3 - y))$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $3 - y$ .

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $3 - y$ da $x (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) x)$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) x)$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{3 - y} d y = x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = 3 - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 3 - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 3 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ e semplifica.

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Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 3 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $\ln (| 3 - y |)$ per $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ come $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$\ln (| 3 - y |) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot C$

Passaggio 3.1.3.1.5

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| 3 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - C$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 3 - y |)} = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 3 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} = | 3 - y |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 3 - y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$ .

$| 3 - y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 3$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 3$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 3$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C})$ come $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C})$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + 3$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}) + 3$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ come $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}) + 3$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + 3$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = - (C e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + 3$