Calcolo Esempi

$(\frac{1}{y}) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y^{- 2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 y - \frac{x}{y^{2}})]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 y - \frac{x}{y^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Passaggio 2.4

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$

Passaggio 2.6

Poiché $- \frac{1}{y^{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{y^{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.7

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 (\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

Passaggio 2.9

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- \frac{1}{y^{2}}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{1}{y^{2}}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $- \frac{1}{y^{2}}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $\frac{1}{y}$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $\frac{1}{y}$ a $M$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}) y$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $- - \frac{1}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + 1 \frac{1}{y^{2}}) y$

Passaggio 4.3.3.2

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) y$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + 1}{y^{2}} y$

Passaggio 4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{y^{2}} y$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci $\frac{1}{y}$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Passaggio 4.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Passaggio 4.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $2 \ln (| y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Passaggio 5.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Passaggio 5.4.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $\frac{1}{y} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} y^{2} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ per $y^{2}$ .

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$y d x + (- (3 y) - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y d x + (- 3 y - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $- - \frac{x}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y d x + (- 3 y + 1 \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $\frac{x}{y^{2}}$ per $1$ .

$y d x + (- 3 y + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Passaggio 6.7

Applica la proprietà distributiva.

$y d x + (- 3 y \cdot y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.8

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Sposta $y^{2}$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.8.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y^{1}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y d x + (- 3 y^{2 + 1} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.8.3

Somma $2$ e $1$ .

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.9

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Elimina il fattore comune.

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.9.2

Riscrivi l'espressione.

$y d x + (- 3 y^{3} + x) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = y$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 3 y^{3} + x$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x = - 3 y^{3} + x$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x - x$

Passaggio 12.1.2

Combina i termini opposti in $- 3 y^{3} + x - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + 0$

Passaggio 12.1.2.2

Somma $- 3 y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- 3 y^{3}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{3} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 y^{3} d y$

Passaggio 13.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - 3 \int y^{3} d y$

Passaggio 13.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Passaggio 13.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Riscrivi $- 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ come $- 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Passaggio 13.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

Passaggio 13.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (y) = - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$y^{4}$ e $\frac{3}{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{y^{4} \cdot 3}{4} + C$

Passaggio 15.2

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3 y^{4}}{4} + C$