Calcolo Esempi

$\frac{2 d y}{d x} + y = 3$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Metti in evidenza $\frac{d y}{d x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + y = 3$

Passaggio 1.2

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . Allora $d u = - \frac{1}{2} d y$ , quindi $- 2 d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} - \frac{y}{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{3}{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- \frac{y}{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.6

$- 2$ e $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 2}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{2}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{2}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- 2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$- 2 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.9

Riordina i termini.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ .

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)$ per $1$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.2.2

$y$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |)} = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} = | \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $\frac{3}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Passaggio 3.4.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1

Semplifica $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Passaggio 3.4.5.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Passaggio 3.4.5.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Passaggio 3.4.5.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Passaggio 3.4.5.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Passaggio 3.4.5.1.1.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Passaggio 3.4.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1

Semplifica $- 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1.1

Per scrivere $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Passaggio 3.4.5.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1.2.1

$\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 (\frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Passaggio 3.4.5.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - 2 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Passaggio 3.4.5.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y = 2 (- 1) \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Passaggio 3.4.5.2.1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Passaggio 3.4.5.2.1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3)$

Passaggio 3.4.5.2.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - 3)$

Passaggio 3.4.5.2.1.4

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}})) - - 3$

Passaggio 3.4.5.2.1.4.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - - 3$

Passaggio 3.4.5.2.1.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) + 3$

Passaggio 3.4.6

Riordina $- \frac{x}{2}$ e $- \frac{C}{2}$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{2} - \frac{x}{2}}) + 3$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - 2 (\pm e^{C - \frac{x}{2}}) + 3$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} + C}) + 3$

Passaggio 4.3

Riscrivi $e^{- \frac{x}{2} + C}$ come $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}) + 3$

Passaggio 4.4

Riordina $e^{- \frac{x}{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}) + 3$

Passaggio 4.5

Combina costanti con il più o il meno.

$y = - 2 (C e^{- \frac{x}{2}}) + 3$