Calcolo Esempi

$x y^{4} d x + (y^{2} + 2) e^{x} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x y^{4} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(y^{2} + 2) e^{x} d y = - x y^{4} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{x} y^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} y^{4}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $e^{x}$ da $(y^{2} + 2) e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Passaggio 3.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{4}} (y^{2} + 2) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{y^{4}}$ per $y^{2} + 2$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y^{4}$ .

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Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{e^{x} y^{4}}$ nel numeratore.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y^{4}$ da $e^{x} y^{4}$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (x y^{4}) d x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y^{4}$ da $x y^{4}$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

Passaggio 3.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

Passaggio 3.5

$\frac{- 1}{e^{x}}$ e $x$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.2.1.1

Sposta $y^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (y^{2} + 2) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} + 2) y^{4 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int (y^{2} + 2) y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $(y^{2} + 2) y^{- 4}$ .

$\int y^{2} y^{- 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{- 4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{2 - 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.3.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$\int y^{- 2} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{- 2} d y + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 \int y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 4}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1.1

$y^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.8.1.2

Sposta $y^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.8.2

Semplifica.

$- \frac{1}{y} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{y} - 2 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.8.3.2

$- 2$ e $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{- 2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2.8.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.2.1

Nega l'esponente di $e^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Passaggio 4.3.2.2.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Passaggio 4.3.6

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.3.6.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.3.6.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.3.6.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3.6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Passaggio 4.3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Passaggio 4.3.8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$

Passaggio 4.3.9

Riscrivi $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$ come $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$

Passaggio 4.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{4}$

Passaggio 4.3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

Passaggio 4.3.11.2

Moltiplica $- (- x e^{- x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

Passaggio 4.3.11.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{4}$

Passaggio 4.3.11.3

Moltiplica $- - e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{4}$

Passaggio 4.3.11.3.2

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{4}$

Passaggio 4.3.12

Riordina i termini.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} = e^{- x} x + e^{- x} + K$