Calcolo Esempi

$(2 x^{2} - y e^{x}) d x - e^{x} d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x^{2} - y e^{x}$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} - y e^{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - y e^{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y e^{x}$ rispetto a $y$ è $- e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x}$

Passaggio 1.4

Sottrai $e^{x}$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{x}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - e^{x}$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{x}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci $- e^{x}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- e^{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- e^{x} = - e^{x}$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$- e^{x} = - e^{x}$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - e^{x} d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = - e^{x}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = - e^{x} y + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y + g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- e^{x} y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{x} y]$ .

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Passaggio 8.3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x} y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Passaggio 8.5

Semplifica.

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Passaggio 8.5.1

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - e^{x} y = 2 x^{2} - y e^{x}$

Passaggio 8.5.2

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} - e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y e^{x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.1.1

Somma $y e^{x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$ .

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Passaggio 9.1.2.1

Somma $- y e^{x}$ e $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $2 x^{2}$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{2} d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{2} d x$

Passaggio 10.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 2 \int x^{2} d x$

Passaggio 10.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 10.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 10.5.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ come $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Passaggio 10.5.2

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{2}{3} x^{3} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$

Passaggio 12

Semplifica $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$ .

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Passaggio 12.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = - y e^{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$