Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 10 x - 9$ e $y (5) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (10 x - 9) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 10 x - 9 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 10 x - 9 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 10 x d x + \int - 9 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 10 \int x d x + \int - 9 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 9 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$y + C_{1} = 5 x^{2} - 9 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 5 x^{2} - 9 x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $5$ e $y$ con $0$ in $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ .

$0 = 5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$ .

$5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $5$ per $5^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Moltiplica $5$ per $5^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1.1.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $1$ .

$5^{1} \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5^{1 + 2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$5^{3} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$125 - 9 \cdot 5 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 9$ per $5$ .

$125 - 45 + K = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $45$ da $125$ .

$80 + K = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $80$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 80$

Passaggio 5

Sostituisci $- 80$ a $K$ in $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 80$ a $K$ .

$y = 5 x^{2} - 9 x - 80$