Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ come $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $1$ in $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2}}$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$

Passaggio 6.2

Semplifica $C e^{\frac{0^{2}}{2}}$ .

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Passaggio 6.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$C e^{\frac{0}{2}} = 1$

Passaggio 6.2.2

Dividi $0$ per $2$ .

$C e^{0} = 1$

Passaggio 6.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$C \cdot 1 = 1$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $C$ per $1$ .

$C = 1$

Passaggio 7

Sostituisci $1$ a $C$ in $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Sostituisci $1$ a $C$ .

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ per $1$ .

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}}$