Calcolo Esempi

$x \cdot \frac{d y}{d x} = y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \cdot \frac{d y}{d x} = y$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \cdot \frac{d y}{d x} = y$ .

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| x |}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

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Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{C} | x |$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{C}$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm | x | C$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C | x |$