Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $1 + y$ .

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(1 + y) d y = x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 1 + y d y = \int x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int y d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int y d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$y + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x$

Passaggio 2.2.5

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{2}}{2} + K$

Passaggio 3.3

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Sottrai $\frac{x^{2}}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} = K$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Passaggio 3.4

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{2}$ nel numeratore.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} + 2 y - x^{2} - 2 K = 0$

Passaggio 3.4.3

Sposta $2 y$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Passaggio 3.4.4

Riordina $y^{2}$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Passaggio 3.5

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.6

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = - x^{2} - 2 K$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6

Scomponi $4$ da $4 + 4 x^{2} + 8 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.6.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6.2

Scomponi $4$ da $8 K$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6.3

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6.4

Scomponi $4$ da $4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.7

Riscrivi $4 (1 + x^{2} + 2 K)$ come $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)$ .

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Passaggio 3.7.1.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.7.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K}$