Calcolo Esempi

$x^{3} + 2 y \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$ .

$\frac{2 y \frac{d y}{d x}}{2 y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y \frac{d y}{d x}}{2 y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{2 y}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{3}}{2 y})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{3}}{2 y}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{2 y}$

Passaggio 1.3.2.2

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{y \cdot 2}$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{y \cdot 2}$

Passaggio 1.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y d y = - \frac{x^{3}}{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int - \frac{x^{3}}{2} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{3}}{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{3}}{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int x^{3} d x)$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} x^{4} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$x^{4}$ e $\frac{1}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{4}}{8} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{4}}{8}) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{4}}{8}$ nel numeratore.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{8} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{2 (4)} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{2 \cdot 4} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = \frac{- x^{4}}{4} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{x^{4}}{4} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $2 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + 2 K \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 3.4.2

$2 K$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 K \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{4} + 2 K \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{4} + 8 K}{4}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $\frac{- x^{4} + 8 K}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} (- x^{4} + 8 K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $- x^{4} + 8 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{4} + 8 K)}{4}}$

Passaggio 3.4.5.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{4} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.4.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (- x^{4} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- x^{4} + 8 K)}$

Passaggio 3.4.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x^{4} + 8 K}$

Passaggio 3.4.7

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{- x^{4} + 8 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + K}}{2}$