Calcolo Esempi

$x (2 x^{2} + y^{2}) d x + y (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (2 x^{2} + y^{2})]$

Passaggio 1.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x (2 x^{2} + y^{2})$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 1.4

Poiché $2 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 1.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

Passaggio 1.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (x^{2} + 2 y^{2})]$

Passaggio 2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y (x^{2} + 2 y^{2})$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Passaggio 2.5

Poiché $2 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 0)$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

Passaggio 2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

Passaggio 2.6.3

Riordina i fattori di $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x y = 2 x y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 x y = 2 x y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (2 x^{2} + y^{2}) d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Espandi $x (2 x^{2} + y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \int x (2 x^{2}) + x y^{2} d x$

Passaggio 5.1.2

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = \int x \cdot 2 x^{2} + x y^{2} d x$

Passaggio 5.1.3

Riordina $x$ e $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x \cdot x^{2} + x y^{2} d x$

Passaggio 5.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \int 2 (x^{1} x^{2}) + x y^{2} d x$

Passaggio 5.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \int 2 x^{1 + 2} + x y^{2} d x$

Passaggio 5.1.6

Somma $1$ e $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} + x y^{2} d x$

Passaggio 5.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 2 x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Passaggio 5.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 2 \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Passaggio 5.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x y^{2} d x$

Passaggio 5.5

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} \int x d x$

Passaggio 5.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.7

Semplifica.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 5.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 5.8.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 5.8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 5.8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 5.8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 5.8.3

$y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Passaggio 5.8.4

$\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Passaggio 5.9

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.2.2

Poiché $\frac{1}{2} x^{4}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{4}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.3.3

Poiché $\frac{x^{2}}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.3.5

$2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.3.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ e $y$ .

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.3.7.2

Dividi $x^{2} y$ per $1$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Somma $0$ e $x^{2} y$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 8.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica $y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = 0 + 0 + y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 9.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 9.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + y (2 y^{2})$

Passaggio 9.1.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}$

Passaggio 9.1.1.5

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.5.1

Sposta $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y)$

Passaggio 9.1.1.5.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.5.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})$

Passaggio 9.1.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{2 + 1}$

Passaggio 9.1.1.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{3}$

Passaggio 9.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$

Passaggio 9.1.2.2

Combina i termini opposti in $y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.1

Riordina i fattori nei termini di $y x^{2}$ e $- x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 y^{3} - x^{2} y$

Passaggio 9.1.2.2.2

Sottrai $x^{2} y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} + 0$

Passaggio 9.1.2.2.3

Somma $2 y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $2 y^{3}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y^{3} d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y^{3} d y$

Passaggio 10.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 2 \int y^{3} d y$

Passaggio 10.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Passaggio 10.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ come $2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Passaggio 10.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{2}{4} y^{4} + C$

Passaggio 10.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$g (y) = \frac{2 (1)}{4} y^{4} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{4} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Passaggio 12.2

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Passaggio 12.3

$\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Passaggio 12.4

$\frac{1}{2}$ e $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$