Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + x e^{x} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Sottrai $x e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = - x e^{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - x e^{x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - x e^{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$y + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - (x e^{x} - e^{x}) + K$