Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , $y (0) = 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $2$ in $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ .

$2 = \sqrt[3]{0^{3} + K}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$ .

$\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$

Passaggio 6.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{0^{3} + K}}^{3} = 2^{3}$

Passaggio 6.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{0^{3} + K}$ come ${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(0^{3} + K)}^{1} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Somma $0$ e $K$ .

$K^{1} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.4

Semplifica.

$K = 2^{3}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$K = 8$

Passaggio 7

Sostituisci $8$ a $K$ in $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $8$ a $K$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 8}$

Passaggio 7.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 2^{3}}$

Passaggio 7.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Passaggio 7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}$

Passaggio 7.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$