Calcolo Esempi

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Sia $v = \frac{d y}{d x}$ . Allora $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sostituisci $v$ a $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ a $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ per ottenere un'equazione differenziale con una variabile dipendente $v$ e una variabile indipendente $x$ .

$4 \frac{d v}{d x} + v = 0$

Passaggio 2

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sottrai $v$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \frac{d v}{d x} = - v$

Passaggio 2.1.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \frac{d v}{d x} = - v$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \frac{d v}{d x} = - v$ .

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- v}{4}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{v}{4}$

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} (- \frac{v}{4})$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{v}$ nel numeratore.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Passaggio 2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v} d v = - \frac{1}{4} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v} d v = \int - \frac{1}{4} d x$

Passaggio 3.2

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4} d x$

Passaggio 3.3

Applica la regola costante.

$\ln (| v |) + C_{1} = - \frac{1}{4} x + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$

Passaggio 4

Risolvi per $v$ .

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Passaggio 4.1

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}} = | v |$

Passaggio 4.3

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Passaggio 4.3.2

$x$ e $\frac{1}{4}$ .

$| v | = e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Passaggio 4.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Passaggio 5

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi $e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$ come $e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$

Passaggio 5.2

Riordina $e^{- \frac{x}{4}}$ e $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{- \frac{x}{4}}$

Passaggio 5.3

Combina costanti con il più o il meno.

$v = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Passaggio 7

Riscrivi l'equazione.

$d y = C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Passaggio 8

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Passaggio 8.2

Applica la regola costante.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Passaggio 8.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $C_{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $C_{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{- \frac{x}{4}} d x$

Passaggio 8.3.2

Sia $u = - \frac{x}{4}$ . Allora $d u = - \frac{1}{4} d x$ , quindi $- 4 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Sia $u = - \frac{x}{4}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Differenzia $- \frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]$

Passaggio 8.3.2.1.2

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 8.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 8.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 8.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Passaggio 8.3.3.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Passaggio 8.3.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \cdot 4 d u$

Passaggio 8.3.3.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - 4 e^{u} d u$

Passaggio 8.3.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 \int e^{u} d u)$

Passaggio 8.3.5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 (e^{u} + C_{6}))$

Passaggio 8.3.6

Semplifica.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{u}) + C_{7}$

Passaggio 8.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}}) + C_{7}$

Passaggio 8.3.8

Riordina i termini.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{1}{4} x}) + C_{7}$

Passaggio 8.3.9

Riordina i termini.

$y + C_{5} = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C_{4} + C_{7}$

Passaggio 8.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C + D$