Calcolo Esempi

$x (y d) x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 1.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Passaggio 1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (x^{2} + 3 y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + 3 y^{2})]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x^{2} + 3 y^{2})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}])$

Passaggio 2.5

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x = - 2 x$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x = - 2 x$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - x}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x y$ a $M$ .

$\frac{- 2 x - x}{x y}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $x$ da $- 2 x$ .

$\frac{- 3 x}{x y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x}{x y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{y}$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci $x y$ a $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Passaggio 5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 3 \ln (| y |)$ spostando $- 3$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $x y d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x y$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x y \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y x \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune.

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.3

$x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- (x^{2} + 3 y^{2})$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x}{y^{2}} d x + (- x^{2} - (3 y^{2})) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + (- x^{2} - 3 y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $- x^{2} - 3 y^{2}$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- x^{2} - 3 y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.8

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - 3 y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.9

Scomponi $- 1$ da $- 3 y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - (3 y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (3 y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.11

Riscrivi $- (x^{2} + 3 y^{2})$ come $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- 1 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x}{y^{2}} d x - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $\frac{1}{y^{2}}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{y^{2}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int x d x$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $\frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2} \cdot 2} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot y^{2}} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $2$ per $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 y^{2}} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4

$\frac{1}{2 y^{2}}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $\frac{x^{2}}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{y^{2}}$ come ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.7

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.10

$- 2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.11

$\frac{- 2 x^{2}}{2}$ e $y^{- 3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.12

Sposta $y^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.13

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.13.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.13.2.1

Scomponi $2$ da $2 y^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} = - \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Somma $\frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + 3 y^{2}}{y^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 3 y^{2}}{y^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Somma $0$ e $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 y^{2}}{y^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1

Scomponi $y^{2}$ da $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 3}{y^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 3}{y^{2} y} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 3}{y^{2} y} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3}{y} = 0$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $\frac{3}{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{3}{y}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- \frac{3}{y}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - \frac{3}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{3}{y} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{3}{y} d y$

Passaggio 13.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \int \frac{3}{y} d y$

Passaggio 13.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (3 \int \frac{1}{y} d y)$

Passaggio 13.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$g (y) = - 3 \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 13.6

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - 3 (\ln (| y |) + C)$

Passaggio 13.7

Semplifica.

$g (y) = - 3 \ln (| y |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - 3 \ln (| y |) + C$

Passaggio 15

Semplifica $- 3 \ln (| y |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - \ln ({| y |}^{3}) + C$