Calcolo Esempi

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 1.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} y + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 4 y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y + 4 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.4

Poiché $4 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Somma $2 y x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x$

Passaggio 2.5.2

Riordina i fattori di $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$0 = 2 x y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$0 = 2 x y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x^{2} y + 4 y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x^{2} y + 4 y$ a $N$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{x^{2} y + 4 y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{0 - 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $2 x y$ da $0$ .

$\frac{- 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $y$ da $x^{2} y + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + 4 y}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $y$ da $4 y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + y \cdot 4}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $y$ da $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 4}$

Passaggio 4.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 4}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x}$

Passaggio 5.4

Sia $u = x^{2} + 4$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sia $u = x^{2} + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Differenzia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Passaggio 5.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 5.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 5.4.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 5.4.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Passaggio 5.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Passaggio 5.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Passaggio 5.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 5.9

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Passaggio 5.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 4 |)} + C$

Passaggio 5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

Semplifica $- \ln (| x^{2} + 4 |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.11.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 4 |}^{- 1} + C$

Passaggio 5.11.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 4 |} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x$ per $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$x \frac{1}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Passaggio 6.2

$x$ e $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x^{2} y + 4 y$ per $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) \frac{1}{x^{2} + 4} d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x^{2} y + 4 y$ per $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{x^{2} y + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Passaggio 6.5

Scomponi $y$ da $x^{2} y + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Passaggio 6.5.2

Scomponi $y$ da $4 y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + y \cdot 4}{x^{2} + 4} d y = 0$

Passaggio 6.5.3

Scomponi $y$ da $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Passaggio 6.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Dividi $y$ per $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + y d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = y$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Passaggio 11.3

Poiché $\frac{1}{2} y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Passaggio 11.5

Somma $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Passaggio 12

Trova l'antiderivata di $\frac{x}{x^{2} + 4}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 12.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 12.3

Sia $u = x^{2} + 4$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Sia $u = x^{2} + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Differenzia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Passaggio 12.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 12.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 12.3.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 12.3.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 12.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 12.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Passaggio 12.4.3

Moltiplica $2$ per $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 12.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$g (x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 12.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 12.7

Semplifica.

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 12.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 4$ .

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Passaggio 14

Semplifica $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Passaggio 14.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 14.2

Per scrivere $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Passaggio 14.3

$\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 14.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 14.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Moltiplica $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1.1

Riordina $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Passaggio 14.5.1.2

Semplifica $2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Passaggio 14.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Passaggio 14.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Passaggio 14.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{1})}{2} + C$

Passaggio 14.5.3

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$