Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} (1 + y)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (\frac{1 + x}{x} (1 + y))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $1 + y$ da $\frac{1 + x}{x} (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 1 + y$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 1 + y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Passaggio 2.3.5

Applica la regola costante.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Riordina i termini.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = x + \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| x |) = x + C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |})} = e^{x + C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| 1 + y |}{| x |}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per $| x |$ .

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| 1 + y | = e^{x + C} | x |$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{x + C} | x |$ .

$| 1 + y | = | x | e^{x + C}$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm | x | e^{x + C}$

Passaggio 3.5.4.3

Riordina i fattori in $\pm | x | e^{x + C}$ .

$1 + y = \pm e^{x + C} | x |$

Passaggio 3.5.4.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{x + C} | x | - 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{x + C}$ come $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x} e^{C} | x | - 1$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x} | x | - 1$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{x} | x | - 1$