Calcolo Esempi

$(2 x y^{3} + 1) d x + (3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} + 1]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y^{3} + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y^{3}$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Somma $6 x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i fattori di $6 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- \frac{1}{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{y}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $6 y^{2} x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci $6 y^{2} x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $6 y^{2} x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} + 1 d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} d x + \int d x$

Passaggio 5.2

Poiché $2 y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2 y^{3}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 2 y^{3} \int x d x + \int d x$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Passaggio 5.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Passaggio 5.5

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2} + x + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} x^{2} + x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{3} x^{2}$ rispetto a $y$ è $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Passaggio 8.3.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Passaggio 8.4

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Passaggio 8.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Passaggio 8.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Somma $3 x^{2} y^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Passaggio 8.6.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$

Passaggio 9.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $3 x^{2} y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$

Passaggio 9.1.2.2

Combina i termini opposti in $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.1

Sottrai $3 x^{2} y^{2}$ da $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y} + 0$

Passaggio 9.1.2.2.2

Somma $- \frac{1}{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $- \frac{1}{y}$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

Passaggio 10.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 10.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

Passaggio 10.5

Semplifica.

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x - \ln (| y |) + C$