Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x \cos (8 x^{2})$ , $y (0) = 8$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = x \cos (8 x^{2}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 8 x^{2}$ . Allora $d u = 16 x d x$ , quindi $\frac{1}{16} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 8 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (2 x)$

Passaggio 2.3.1.1.4

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{16} d u$

Passaggio 2.3.2

$\cos (u)$ e $\frac{1}{16}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{16} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{16}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{16}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} (\sin (u) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (u) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $8$ in $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ .

$8 = \frac{1}{16} \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0) + K = 8$

Passaggio 4.2.1.1.2

Moltiplica $8$ per $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (0) + K = 8$

Passaggio 4.2.1.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot 0 + K = 8$

Passaggio 4.2.1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $0$ .

$0 + K = 8$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 8$

Passaggio 5

Sostituisci $8$ a $K$ in $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $8$ a $K$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + 8$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{16}$ e $\sin (8 x^{2})$ .

$y = \frac{\sin (8 x^{2})}{16} + 8$