Calcolo Esempi

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y^{4} + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4} + 2 y]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{4} + 2 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y^{3}$ rispetto a $x$ è $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.4

Poiché $2 y^{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \cdot 1$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4$

Passaggio 2.6

Somma $y^{3}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} - 4$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $4 y^{3} + 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y^{3} - 4$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $y^{3} - 4$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y^{3} - 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $4 y^{3} + 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $y^{4} + 2 y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $y^{4} + 2 y$ a $M$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{y^{4} + 2 y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3}) - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 2}{y^{4} + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $4 y^{3}$ da $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 4 - 2}{y^{4} + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.5

Sottrai $2$ da $- 4$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 6}{y^{4} + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.6

Scomponi $3$ da $- 3 y^{3} - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1

Scomponi $3$ da $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3}) - 6}{y^{4} + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.6.2

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (- 2)}{y^{4} + 2 y}$

Passaggio 4.3.2.6.3

Scomponi $3$ da $3 (- y^{3}) + 3 (- 2)$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y^{4} + 2 y}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $y$ da $y^{4} + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $y$ da $y^{4}$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + 2 y}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $- y^{3} - 2$ e $y^{3} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $- 1$ da $- y^{3}$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (2))}{y (y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (y^{3}) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.4.4

Riscrivi $- (y^{3} + 2)$ come $- 1 (y^{3} + 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.4.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.4.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci $y^{4} + 2 y$ a $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Passaggio 5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 3 \ln (| y |)$ spostando $- 3$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $y^{4} + 2 y$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{4} + 2 y) \frac{1}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $y^{4} + 2 y$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{4} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $y$ da $y^{4} + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $y$ da $y^{4}$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Passaggio 6.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Passaggio 6.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} x + C$

Passaggio 8.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi $\frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$ come $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = y^{3} x + 2 x$ e $g (y) = y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d}{d y} [y^{3} x + 2 x] - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} x + 2 x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{y^{2} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{3} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{y^{2} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.5

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.7

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{y^{2} (3 \cdot x y^{2} + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.8

Somma $3 x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{y^{2} (3 x y^{2}) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.9

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.9.1

Sposta $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.9.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y^{2 + 2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.9.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{y^{4} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.10

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{4}$ .

$\frac{3 \cdot y^{4} x - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.12

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.12.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.12.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.13

Scomponi $y$ da $3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.13.1

Scomponi $y$ da $3 y^{4} x$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.13.2

Scomponi $y$ da $- 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.13.3

Scomponi $y$ da $y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.14.1

Scomponi $y$ da $y^{4}$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.3.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x) - 2 (2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.5.2.2

Sottrai $2 y^{3} x$ da $3 y^{3} x$ .

$\frac{1 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.5.2.3

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.5.2.4

Per scrivere $\frac{d g}{d y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.5.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y^{3} x - 4 x + \frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 11.5.3

Riordina i termini.

$\frac{y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$

Passaggio 12.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Sottrai $y^{3} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x$

Passaggio 12.1.2.2

Somma $4 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Passaggio 12.1.2.3

Combina i termini opposti in $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.3.1

Riordina i fattori nei termini di $x y^{3}$ e $- y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = y^{3} x + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Passaggio 12.1.2.3.2

Sottrai $y^{3} x$ da $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 0 + 4 x$

Passaggio 12.1.2.3.3

Somma $2 y^{4} - 4 x$ e $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 4 x$

Passaggio 12.1.2.3.4

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} + 0$

Passaggio 12.1.2.3.5

Somma $2 y^{4}$ e $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$

Passaggio 12.1.3

Dividi per $y^{3}$ ciascun termine in $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Dividi per $y^{3}$ ciascun termine in $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Passaggio 12.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Passaggio 12.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d g}{d y}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Passaggio 12.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.3.1

Elimina il fattore comune di $y^{4}$ e $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.3.1.1

Scomponi $y^{3}$ da $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.1.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.3.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Passaggio 12.1.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Passaggio 12.1.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y}{1}$

Passaggio 12.1.3.3.1.2.4

Dividi $2 y$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $2 y$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Passaggio 13.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 2 \int y d y$

Passaggio 13.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 13.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Passaggio 13.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Scomponi $x$ da $y^{3} x + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Scomponi $x$ da $y^{3} x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Passaggio 15.1.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2}{y^{2}} + y^{2} + C$

Passaggio 15.1.3

Scomponi $x$ da $x y^{3} + x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + y^{2} + C$

Passaggio 15.2

Per scrivere $y^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Passaggio 15.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2) + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Passaggio 15.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2 + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Passaggio 15.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 \cdot x + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Passaggio 15.4.3

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{2 + 2}}{y^{2}} + C$

Passaggio 15.4.3.2

Somma $2$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{4}}{y^{2}} + C$