Calcolo Esempi

$\frac{d f}{d x} = - 5 x^{2} - 5 e^{x}$ , $f (0) = - 16$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d f = (- 5 x^{2} - 5 e^{x}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d f = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = - 5 \int x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 5 e^{x} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 \int e^{x} d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 (e^{x} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

$- 5$ e $\frac{1}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{- 5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f + C_{1} = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $f$ con $- 16$ in $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ .

$- 16 = - \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$

Passaggio 4.2

Semplifica $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 16$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- \frac{5}{3} \cdot 0$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 (\frac{5}{3}) - 5 e^{0} + K = - 16$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{5}{3}$ .

$0 - 5 e^{0} + K = - 16$

Passaggio 4.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 16$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$0 - 5 + K = - 16$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$- 5 + K = - 16$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 16 + 5$

Passaggio 4.3.2

Somma $- 16$ e $5$ .

$K = - 11$

Passaggio 5

Sostituisci $- 11$ a $K$ in $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 11$ a $K$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} - 11$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

$x^{3}$ e $\frac{5}{3}$ .

$f = - \frac{x^{3} \cdot 5}{3} - 5 e^{x} - 11$

Passaggio 5.2.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f = - \frac{5 x^{3}}{3} - 5 e^{x} - 11$