Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2$

Passaggio 1

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2$

Passaggio 2

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 3

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 4

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 - V$

Passaggio 5.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $V + 2 - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2$

Passaggio 5.1.1.1.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2$

Passaggio 5.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = 2$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi l'equazione.

$d V = \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2.2

Applica la regola costante.

$V + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$V + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$V + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica.

$V + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 5.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$V = 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 7

Risolvi $\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (2 \ln (| x |) + C) x$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $(2 \ln (| x |) + C) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y = (\ln ({| x |}^{2}) + C) x$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

Passaggio 7.2.2.1.2

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.2.1

Riordina i fattori in $\ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

Passaggio 7.2.2.1.2.2.2

Riordina $x \ln (x^{2})$ e $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2})$