Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$

Passaggio 1

Presupponi che tutte le soluzioni siano del tipo $y = e^{r x}$ .

Passaggio 2

Trova l'equazione caratteristica per $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$ .

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Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Passaggio 2.3

Sostituisci nell'equazione differenziale.

$r^{2} e^{r x} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Passaggio 2.4

Metti in evidenza $e^{r x}$ .

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Passaggio 2.4.1

Scomponi $e^{r x}$ da $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Passaggio 2.4.2

Scomponi $e^{r x}$ da $- 4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4 = 4 e^{- x}$

Passaggio 2.4.3

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4$ .

$e^{r x} (r^{2} - 4) = 4 e^{- x}$

Passaggio 2.5

Poiché gli esponenziali non possono mai essere zero, dividi entrambi i lati per $e^{r x}$ .

$r^{2} - 4 = 4 e^{- x}$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

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Passaggio 3.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} = 4 e^{- x} + 4$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$r = \pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $4$ da $4 e^{- x} + 4$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 e^{- x}$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4}$

Passaggio 3.3.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4 (1)}$

Passaggio 3.3.1.3

Scomponi $4$ da $4 (e^{- x}) + 4 (1)$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x} + 1)}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $4 (e^{- x} + 1)$ come $2^{2} (e^{- x} + 1^{2})$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1)}$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1^{2})}$

Passaggio 3.3.3

Estrai i termini dal radicale.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Passaggio 4

Con i due valori trovati di $r$ , è possibile costruire due soluzioni.

$y_{1} = e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

Passaggio 5

Secondo il principio di sovrapposizione, la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea.

$y = c_{1} e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x} + c_{2} e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$