Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + \frac{4}{x}$ , $y (0) = 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (5 x^{2} + \frac{4}{x}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

$5$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $1$ in $y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$1 = \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $0$ .

$0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Passaggio 4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$0 + 4 \ln (0) + C = 1$

Passaggio 4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$