Calcolo Esempi

Risolvere l''Equazione Differenziale (xy+y^2)dy=y^2dx
Passaggio 1
Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 1.2
Riscrivi.
Passaggio 2
Trova dove .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Differenzia rispetto a .
Passaggio 2.2
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.4
Moltiplica per .
Passaggio 3
Trova dove .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1
Differenzia rispetto a .
Passaggio 3.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 3.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 3.4
Differenzia usando la regola della costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.4.2
Somma e .
Passaggio 4
Verifica che .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Sostituisci a e a
Passaggio 4.2
Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.
non è un'identità.
non è un'identità.
Passaggio 5
Trova il fattore di integrazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Sostituisci a .
Passaggio 5.2
Sostituisci a .
Passaggio 5.3
Sostituisci a .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1
Sostituisci a .
Passaggio 5.3.2
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.1
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.3.2.1.2
Scomponi da .
Passaggio 5.3.2.1.3
Scomponi da .
Passaggio 5.3.2.1.4
Scomponi da .
Passaggio 5.3.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.3.2.3
Somma e .
Passaggio 5.3.3
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.3.1
Scomponi da .
Passaggio 5.3.3.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.3.3.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.3.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.3.4
Sostituisci a .
Passaggio 5.4
Trova il fattore di integrazione .
Passaggio 6
Valuta l'integrale .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Poiché è costante rispetto a , sposta fuori dall'integrale.
Passaggio 6.2
Poiché è costante rispetto a , sposta fuori dall'integrale.
Passaggio 6.3
Moltiplica per .
Passaggio 6.4
L'integrale di rispetto a è .
Passaggio 6.5
Semplifica.
Passaggio 6.6
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.6.1
Semplifica spostando all'interno del logaritmo.
Passaggio 6.6.2
L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.
Passaggio 6.6.3
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 7
Moltiplica entrambi i lati di per il fattore di integrazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Moltiplica per .
Passaggio 7.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.1
Scomponi da .
Passaggio 7.2.2
Scomponi da .
Passaggio 7.2.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 7.2.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 7.3
Moltiplica per .
Passaggio 7.4
Moltiplica per .
Passaggio 7.5
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.5.1
Scomponi da .
Passaggio 7.5.2
Scomponi da .
Passaggio 7.5.3
Scomponi da .
Passaggio 7.6
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.6.1
Scomponi da .
Passaggio 7.6.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 7.6.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 8
Imposta uguale all'integrale di .
Passaggio 9
Integra per trovare .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Applica la regola costante.
Passaggio 9.2
e .
Passaggio 10
Poiché l'integrale di conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire con .
Passaggio 11
Imposta .
Passaggio 12
Trova .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.1
Differenzia rispetto a .
Passaggio 12.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 12.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 12.3.2
Riscrivi come .
Passaggio 12.3.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 12.3.4
Moltiplica per .
Passaggio 12.3.5
Moltiplica per .
Passaggio 12.4
Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di è .
Passaggio 12.5
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.5.1
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 12.5.2
e .
Passaggio 12.5.3
Riordina i termini.
Passaggio 13
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.1
Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.1.1
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 13.1.1.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 13.1.1.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 13.1.1.4
Sottrai da .
Passaggio 13.1.1.5
Sottrai da .
Passaggio 13.1.1.6
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.1.6.1
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.1.6.1.1
Scomponi da .
Passaggio 13.1.1.6.1.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.1.6.1.2.1
Scomponi da .
Passaggio 13.1.1.6.1.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.1.1.6.1.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.1.1.6.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 13.1.2
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 14
Trova l'antiderivata di per trovare .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.1
Integra entrambi i lati di .
Passaggio 14.2
Calcola .
Passaggio 14.3
L'integrale di rispetto a è .
Passaggio 15
Sostituisci a in .