Calcolo Esempi

$2 \frac{d y}{d x} - 4 x y = 5 x$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Somma $4 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \frac{d y}{d x} = 5 x + 4 x y$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \frac{d y}{d x} = 5 x + 4 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \frac{d y}{d x} = 5 x + 4 x y$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{4 x y}{2}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{4 x y}{2}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{4 x y}{2}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 (2 x y)}{2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 (2 x y)}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 (2 x y)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 x y}{1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.4

Dividi $2 x y$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + 2 x y$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x$ da $\frac{5 x}{2} + 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $x$ da $\frac{5 x}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5}{2} + 2 x y$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5}{2} + x (2 y)$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \frac{5}{2} + x (2 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{5}{2} + 2 y)$

Passaggio 1.2.2

Per scrivere $2 y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{5}{2} + 2 y \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 1.2.3

$2 y$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{5}{2} + \frac{2 y \cdot 2}{2})$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5 + 2 y \cdot 2}{2}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5 + 4 y}{2}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{2}{5 + 4 y}$ .

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 + 4 y} (x \frac{5 + 4 y}{2})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$x$ e $\frac{5 + 4 y}{2}$ .

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 + 4 y} \cdot \frac{x (5 + 4 y)}{2}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 + 4 y} \cdot \frac{x (5 + 4 y)}{2}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 4 y} (x (5 + 4 y))$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $5 + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scomponi $5 + 4 y$ da $x (5 + 4 y)$ .

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 4 y} ((5 + 4 y) x)$

Passaggio 1.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 4 y} ((5 + 4 y) x)$

Passaggio 1.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{2}{5 + 4 y} d y = x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2}{5 + 4 y} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{5 + 4 y} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = 5 + 4 y$ . Allora $d u = 4 d y$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = 5 + 4 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $5 + 4 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 + 4 y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + 4 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [4 y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [4 y]$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [4 y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $y$ è $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$0 + 4$

Passaggio 2.2.2.1.4

Somma $0$ e $4$ .

$4$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u$ .

$2 \int \frac{1}{4 u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int x d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 + 4 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 5 + 4 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 5 + 4 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| 5 + 4 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 5 + 4 y |) = x^{2} + 2 C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 5 + 4 y |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (| 5 + 4 y |) = x^{2} + 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 5 + 4 y |$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $| 5 + 4 y | = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$| 5 + 4 y | = e^{x^{2} + 2 C}$

Passaggio 3.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$5 + 4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Passaggio 3.5.3

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 5$

Passaggio 3.5.4

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 5$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} + \frac{- 5}{4}$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} + \frac{- 5}{4}$

Passaggio 3.5.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} + \frac{- 5}{4}$

Passaggio 3.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} - \frac{5}{4}$

Passaggio 3.5.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 5}{4}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + C} - 5}{4}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{x^{2} + C}$ come $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 5}{4}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 5}{4}$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \frac{C e^{x^{2}} - 5}{4}$