Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d t} = 1 + t - x - t x$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) - x - t x$

Passaggio 1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{d x}{d t} = 1 (1 + t) - x (1 + t)$

Passaggio 1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $1 + t$ .

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) (1 - x)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 + t) (1 - x))$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $1 - x$ da $(1 + t) (1 - x)$ .

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = 1 + t$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 - x} d x = (1 + t) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 - x} d x = \int 1 + t d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 1 + t d t$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int d t + \int t d t$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \int t d t$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \frac{1}{2} t^{2} + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5

Riordina i termini.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ .

$\frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| 1 - x |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $\ln (| 1 - x |)$ per $1$ .

$\ln (| 1 - x |) = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2})$ come $- (\frac{1}{2} t^{2})$ .

$\ln (| 1 - x |) = - (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{t}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - 1 \cdot t + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Riscrivi $- 1 \cdot t$ come $- t$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.6

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - 1 \cdot C$

Passaggio 3.1.3.1.7

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 - x |)} = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} = | 1 - x |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ .

$| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Per scrivere $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.2

Per scrivere $\frac{- 1}{- 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $1$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.3.3

Moltiplica $\frac{- 1}{- 1}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{- - 1}$

Passaggio 3.4.4.3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{1}$

Passaggio 3.4.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1 - - 1}{1}$

Passaggio 3.4.4.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.5.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

Passaggio 3.4.4.3.5.2

Riscrivi $- 1 (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ come $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ .

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

Passaggio 3.4.4.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1}{1}$

Passaggio 3.4.4.3.6

Dividi $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$ per $1$ .

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}) + 1$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}$ come $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}$ .

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}) + 1$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}$ e $e^{C}$ .

$x = - (\pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$x = - (C e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$