Calcolo Esempi

$\frac{d P}{d t} = 2 e^{3 t}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d P = 2 e^{3 t} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d P = \int 2 e^{3 t} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$P + C_{1} = \int 2 e^{3 t} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$P + C_{1} = 2 \int e^{3 t} d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 3 t$ . Allora $d u = 3 d t$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 3 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$P + C_{1} = 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2.3.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$P + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$P + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$P + C_{1} = \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$P + C_{1} = \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$P + C_{1} = \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 t$ .

$P + C_{1} = \frac{2}{3} e^{3 t} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$P = \frac{2}{3} e^{3 t} + K$