Calcolo Esempi

$3 y \frac{d y}{d x} = 8 x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$3 y d y = 8 x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 3 y d y = \int 8 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int y d y = \int 8 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 8 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 8 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 8 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $8 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

$8$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} = \frac{8}{3} x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2}) = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Combina.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.4.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $\frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

$\frac{8}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{8 x^{3}}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{2}{3} K$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Combina.

$y^{2} = \frac{2 (8 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} K$

Passaggio 3.2.2.1.1.4

$\frac{2}{3}$ e $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (8 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $\frac{2 K}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.4.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $\frac{2 K}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{9}}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3} + 2 K \cdot 3}{9}}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Scomponi $2$ da $16 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.1

Scomponi $2$ da $16 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{9}}$

Passaggio 3.4.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{9}}$

Passaggio 3.4.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 (8 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3} + K \cdot 3)}{9}}$

Passaggio 3.4.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3} + 3 K)}{9}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $\frac{2 (8 x^{3} + 3 K)}{9}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $2 (8 x^{3} + 3 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{9}}$

Passaggio 3.4.5.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.4.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}$

Passaggio 3.4.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.4.7

$\frac{1}{3}$ e $\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + K)}}{3}$