Calcolo Esempi

$(x + 2 y^{3}) d x + 6 x y^{2} d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x + 2 y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y^{3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2 y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y^{3}$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (3 y^{2})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 y^{2}$

Passaggio 1.4

Somma $0$ e $6 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 6 x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y^{2}]$

Passaggio 2.2

Poiché $6 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $6 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $6 y^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $6 y^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$6 y^{2} = 6 y^{2}$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$6 y^{2} = 6 y^{2}$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 6 x y^{2} d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = 6 x y^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $6 x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $6 x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 6 x \int y^{2} d y$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 6 x (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Passaggio 5.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $6 x (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ come $6 x \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = 6 x \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 5.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

$6$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = x \frac{6}{3} y^{3} + C$

Passaggio 5.3.2.2

$x$ e $\frac{6}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot 6}{3} y^{3} + C$

Passaggio 5.3.2.3

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$f (x, y) = \frac{6 \cdot x}{3} y^{3} + C$

Passaggio 5.3.2.4

Moltiplica $6$ per $x$ .

$f (x, y) = \frac{6 x}{3} y^{3} + C$

Passaggio 5.3.2.5

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.5.1

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3} y^{3} + C$

Passaggio 5.3.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3 (1)} y^{3} + C$

Passaggio 5.3.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3 \cdot 1} y^{3} + C$

Passaggio 5.3.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{2 x}{1} y^{3} + C$

Passaggio 5.3.2.5.2.4

Dividi $2 x$ per $1$ .

$f (x, y) = 2 x y^{3} + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y^{3} + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + 2 y^{3}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3} + g (x)] = x + 2 y^{3}$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y^{3} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $2 y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y^{3}$ rispetto a $x$ è $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 y^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{3} + \frac{d g}{d x} = x + 2 y^{3}$

Passaggio 8.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} = x + 2 y^{3}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $2 y^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = x + 2 y^{3} - 2 y^{3}$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $x + 2 y^{3} - 2 y^{3}$ .

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Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $2 y^{3}$ da $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $x$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Passaggio 10.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = 2 x y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 12

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x y^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$