Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Combina.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} \sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} \sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ per $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1.2.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ per $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1.2.4.2

Eleva $\sqrt{x + 1}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1.2.4.3

Eleva $\sqrt{x + 1}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Passaggio 1.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.6

Riscrivi ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ come $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Passaggio 1.2.4.6.5

Semplifica.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Passaggio 2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Passaggio 2.3.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $u$ per $u^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Moltiplica $u$ per $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.2.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.2.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.2.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.2.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.2.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ per $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Riordina i fattori in $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$ .

$- 1 = 2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ .

$2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $y$ da $2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $y$ da $y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y K$ .

$y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ ciascun termine in $y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ ciascun termine in $y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ .

$\frac{y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K}$