Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t + 1}{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t + 1}{y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t + 1}{y}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d t} = 3 t + 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = (3 t + 1) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int 3 t + 1 d t$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t + 1 d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t d t + \int d t$

Passaggio 2.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t d t + \int d t$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int d t$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 t^{2}}{2} + t + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{3}{2} t^{2} + t + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{3}{2}$ e $t^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{3 t^{2}}{2} + t + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 2 t + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 2 t + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 3 t^{2} + 2 t + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + K}$