Calcolo Esempi

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x^{2} \cos (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x^{2} \cos (x)$ per $x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

Passaggio 1.2

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

Passaggio 1.3

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ e $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

Passaggio 1.4

$y$ e $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y \cdot 2}{x^{2}} x = x^{2} \cos (x) x$

Passaggio 1.5

$x$ e $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{2} \cos (x) x$

Passaggio 1.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1} x^{2} \cos (x)$

Passaggio 1.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1 + 2} \cos (x)$

Passaggio 1.8

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Passaggio 1.9

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Passaggio 1.9.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Passaggio 1.10

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Scomponi $x$ da $x y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Passaggio 1.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{3} \cos (x)$

Passaggio 1.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{3} \cos (x)$

Passaggio 1.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y \cdot 2}{x} = x^{3} \cos (x)$

Passaggio 1.11

Riordina $y$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cdot y}{x} = x^{3} \cos (x)$

Passaggio 1.12

Scomponi $y$ da $- \frac{2 \cdot y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = x^{3} \cos (x)$

Passaggio 1.13

Riordina $y$ e $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = x^{3} \cos (x)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 2}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Passaggio 3.2.3

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $\frac{2 y}{x}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Passaggio 3.2.4.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} \cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (x \cos (x)))$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (x \cos (x)))$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = x \cos (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = x \cos (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int x \cos (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x \cos (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Passaggio 7.2

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$

Passaggio 7.3

Riscrivi $x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$ come $x \sin (x) + \cos (x) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) + \cos (x) + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x \sin (x) + \cos (x) + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica ogni lato per $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Semplifica $(x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \sin (x) x^{2} + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = x^{2} x \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.3.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = x^{2} x^{1} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.3.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = x^{2 + 1} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.3.2.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$y = x^{3} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.3.2.1.3

Riordina i fattori in $x^{3} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{3} \sin (x) + x^{2} \cos (x) + C x^{2}$

Passaggio 8.3.2.1.4

Sposta $x^{2} \cos (x)$ .

$y = x^{3} \sin (x) + C x^{2} + x^{2} \cos (x)$

Passaggio 8.3.2.1.5

Riordina $x^{3} \sin (x)$ e $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{3} \sin (x) + x^{2} \cos (x)$