Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d t} = 4 e^{t} - 2$ ; , $x (0) = 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d x = (4 e^{t} - 2) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d x = \int 4 e^{t} - 2 d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$x + C_{1} = \int 4 e^{t} - 2 d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x + C_{1} = \int 4 e^{t} d t + \int - 2 d t$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$x + C_{1} = 4 \int e^{t} d t + \int - 2 d t$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $e^{t}$ rispetto a $t$ è $e^{t}$ .

$x + C_{1} = 4 (e^{t} + C_{2}) + \int - 2 d t$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$x + C_{1} = 4 (e^{t} + C_{2}) - 2 t + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$x + C_{1} = 4 e^{t} - 2 t + C_{4}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$x + C_{1} = - 2 t + 4 e^{t} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$x = - 2 t + 4 e^{t} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $0$ e $x$ con $1$ in $x = - 2 t + 4 e^{t} + K$ .

$1 = - 2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = 1$ .

$- 2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = 1$

Passaggio 4.2

Semplifica $- 2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = 1$

Passaggio 4.2.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = 1$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$0 + 4 + K = 1$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$4 + K = 1$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 1 - 4$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$K = - 3$

Passaggio 5

Sostituisci $- 3$ a $K$ in $x = - 2 t + 4 e^{t} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 3$ a $K$ .

$x = - 2 t + 4 e^{t} - 3$